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By Matthias Wendt

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F¨ ur jedes beliebige Polynom T (X) ∈ Fp [X] ist f (X) = ggT (f (X), T (X)) · ggT (f (X), T (X)(p d −1)/2 + 1) · ggT (f (X), T (X)(p d −1)/2 − 1). (ii) Sei p = 2. F¨ ur jedes Polynom T (X) ist 2d−1 2d−1 i T (X)i + 1). T (X) ) · ggT (f (X), f (X) = ggT (f (X), i=1 i=1 d Beweis. (i) Die Elemente von Fpd sind genau die L¨osungen von X p − X. Ofd fensichtlich sind die Elemente von Fpd auch L¨osungen von T (X)p − T (X), also d d X p − X | T (X)p − T (X). 4. GANZHEITSBASEN UND FAKTORISIERUNG IN PARI/GP 47 d man, daß jedes irreduzible Polynom vom Grad d schon X p − X teilt.

Hier ist also ggT (g, h, ∆)√ = X nicht-trivial. √ 3 2 Wir w¨ ahlen F (X) = X und erhalten (mit 1752 = 5 3 245) als Zwischen√ 3 ordnung O = Z[θ] + 245Z[θ]. (iv) Wir lassen den Fall p = 7 weg, wie im Fall p = 3 zeigt man, daß die Ordnung 7-maximal ist. Damit haben wir alle relevanten Primzahlen abgearbeitet. h. auch 5-maximal ist. Diese Ordnung enth¨ alt offensichtlich die Ordnung Z[ 3 245]. Letztere ist 5-maximal, was man auch wieder mit dem Dedekind-Kriterium sehen kann: in diesem Fall ist ∆(X) = 49 ≡ 4 mod 5 und ggT (g, h, ∆) = √ 1.

I) Mit xm , y n ∈ pO folgt aus dem binomischen Satz (x + y)n+m ∈ pO, damit ist Ip (O) unter Addition abgeschlossen. (ii) F¨ ur x ∈ Ip (O) ist xm ∈ pO ⊆ pi , also auch x ∈ pi f¨ ur alle Primideale pi ⊇ (p). Da die verschiedenen Primideale paarweise teilerfremd sind, ist x ∈ pi = pi . Sei umgekehrt x ∈ pi . Wir rechnen in R = O/pO und wollen in diesem Ring xn = 0 zeigen. h. xn (1 − xy) = 0 f¨ ur y ∈ R. h. xn ∈ pO. (iii) Das Ideal Ip (O) ist als Z-Modul endlich erzeugt. F¨ ur eine endliche Zi Basis x1 , .

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